EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.

 G ψ = E ψ =  E [G+]....   =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Na mecânica quântica, equação de Dirac é uma equação de onda relativística proposta por Paul Dirac em 1928 que descreve com sucesso partículas elementares de spin-½, como o elétron. Anteriormente, a equação de Klein-Gordon (uma equação de segunda ordem nas derivadas temporais e espaciais) foi proposta para a mesma função, mas apresentou severos problemas na definição de densidade de probabilidade. A equação de Dirac é uma equação de primeira ordem, o que eliminou este tipo de problema. Além disso, a equação de Dirac introduziu teoricamente o conceito de antipartícula, confirmado experimentalmente pela descoberta em 1932 do pósitron, e mostrou que spin poderia ser deduzido facilmente da equação, ao invés de postulado. Contudo, a equação de Dirac não é perfeitamente compatível com a teoria da relatividade, pois não prevê a criação e destruição de partículas, algo que apenas uma teoria quântica de campos poderia tratar.

A equação propriamente dita é dada por:

${\displaystyle \left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}$, / 

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

na qual m é a massa de repouso do elétron, c é a velocidade da luz, p é o operador momentum linear  é a constante de Planck divida por 2

Em mecânica quântica, a equação de Klein–Gordon é a versão relativista da equação de Schrödinger.^[1] Algumas vezes chamada de Klein–Fock–Gordon ou Klein–Gordon–Fock.

É a equação de movimento de um campo escalar ou pseudo-escalar quântico. Este campo descreve partículas sem spin. Esta equação não corresponde a uma densidade de probabilidade definida positiva e além disso é de segunda ordem na derivada temporal, o que impede uma interpretação física simples. Ela descreve uma partícula pontual que se propaga nos dois sentidos temporais e a sua interpretação é possível recorrendo à teoria de antipartículas desenvolvida por Feynman e Stueckelberg. Todas soluções da equação de Dirac são soluções da equação de Klein-Gordon, mas o inverso é falso.

A equação

A equação de Klein–Gordon é derivada aplicando o processo de quantização a relação de energia relativística para uma partícula livre:

${\displaystyle E^{2}=c^{2}{\vec {\textbf {p}}}^{2}+m^{2}c^{4}}$ / G ψ = E ψ =  E [G+]....  

fazendo as identificações padrão ${\displaystyle {\vec {\textbf {p}}}\to -i\hbar \nabla }$ e ${\displaystyle E\to i\hbar \partial _{t}}$,/ G ψ = E ψ =  E [G+]....   em unidades SI se obtém a forma:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi -\nabla ^{2}\phi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi =0.}$ / 

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

que também é frequentemente reescrita de forma mais compacta utilizando o operador d'alembertiano ${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{tt}-\nabla ^{2}}$ /G ψ = E ψ =  E [G+]....  e em unidades naturais:

${\displaystyle \left(\Box +m^{2}\right)\phi =0}$ / G ψ = E ψ =  E [G+]....  

No contexto de Teoria Quântica de Campos, a equação também pode ser derivada aplicando a equação de Euler-Lagrange para campos:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{\mu }x\right)}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=0}$ / G ψ = E ψ =  E [G+]....  

em que a convenção de soma de Einstein está em uso, à seguinte densidade de lagrangiana:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{2}\right)}$. / G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Neste contexto, após o processo de segunda quantização, se diz que este campo de Klein-Gordon descreve bósons sem carga, sem spin de massa m.

Versão Complexa

Há uma versão complexa do campo de Klein-Gordon podendo ser derivada da densidade de Lagrangiana:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{*}\phi \right)}$ /G ψ = E ψ =  E [G+]....  

satisfazendo:

${\displaystyle \left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\phi =0~~~~~~~~~~~~\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\phi ^{*}=0}$ / G ψ = E ψ =  E [G+]....  

A este campo  estão associados bósons com carga, sem spin de massa m.^[2]

A equação de Lippmann–Schwinger (em homenagem a Bernard Lippmann e Julian Schwinger^[1]) é uma das equações mais utilizadas para descrever colisões de partículas – ou, mais precisamente, de espalhamento – na mecânica quântica. Pode ser usado para estudar o espalhamento das moléculas, átomos, nêutrons, fótons ou quaisquer outras partículas e é importante principalmente para o estudo de física óptica, atômica e molecular, física nuclear e física de partículas, mas também para os problemas de espalhamento em geofísica. Ela refere-se a função de onda espalhada com a interação que produz o espalhamento (potencial espalhador) e, por conseguinte, permite o cálculo dos parâmetros experimentais relevantes (amplitude de espalhamento e a sessão de choque).

A equação mais fundamental para descrever qualquer fenômeno quântico, incluindo o espalhamento, é a equação de Schrödinger. Em problemas físicos esta equação diferencial deve ser resolvida com a entrada de um conjunto adicional de condições iniciais e/ou condições de contorno para o sistema físico estudado. A equação de Lippmann-Schwinger é equivalente à equação Schrödinger mais as condições de contorno para problemas típicos de espalhamento. A fim de incorporar as condições de contorno, a equação Lippmann-Schwinger deve ser escrita como uma equação integral.^[2] Para problemas de espalhamento, a equação de Lippmann-Schwinger muitas vezes é mais conveniente do que a equação de Schrödinger.

A equação de Lippmann-Schwinger é, de forma geral, (na verdade são duas equações mostrados abaixo, uma para ${\displaystyle +\,}$ e outra para ${\displaystyle -\,}$):

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}$ / 

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Nas equações acima,  é a função de onda de todo o sistema (os dois sistemas considerados como um todo colidem) em um tempo infinito antes da interação; e , em um tempo infinito após a interação (a "função de onda espalhada"). O potencial de energia  descreve a interação entre os dois sistemas em colisão. O Hamiltoniano  descreve a situação em que os dois sistemas estão infinitamente distantes e não interagem. As suas autofunções são  e seus autovalores são as energias . Finalmente,  é uma questão técnica matemática utilizada para o cálculo das integrais necessárias para resolver a equação e não tem nenhum significado físico.

A equação de Pauli , também conhecida como Equação Schrödinger-Pauli, é uma formulação da Equação de Schrödinger para um spin-partícula que leva em consideração a interação da rotação de uma partícula com o campo eletromagnético. Essas situações são os casos não-relativísticos da Equação de Dirac, onde as partículas em questão tem uma velocidade muito baixa para que os efeitos da relatividade tenham importância, podendo ser ignorados.

A equação de Pauli foi formulada por Wolfgang Pauli no ano de 1927.

Detalhes

A equação de Pauli é mostrada como:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {p}}-q{\vec {A}}))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$ / 

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Onde:

• ${\displaystyle m\ \ }$ é a massa da partícula.
• ${\displaystyle q\ \ }$ é a carga da partícula.
• ${\displaystyle {\vec {\sigma }}\ \ }$ é um vetor de três componentes do dois-por-dois das matrizes de Pauli. Isto significa que cada componente do vetor é uma matriz de Pauli.
• ${\displaystyle {\vec {p}}\ \ }$ é o vetor de três componentes da dinâmica dos operadores. Os componentes desses vetores são: ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$
• ${\displaystyle {\vec {A}}\ \ }$ é o vetor de três componentes do potencial magnético.
• ${\displaystyle \phi \ \ }$ é o potencial escalar elétrico.
• ${\displaystyle |\psi \rangle \ \ }$ são os dois componentes spinor da onda, podem ser representados como ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}}$.

De forma mais precisa, a equação de Pauli é:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left(\sum _{n=1}^{3}(\sigma _{n}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-qA_{n}))\right)^{2}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}=i\hbar {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \psi _{0}}{\partial t}}\\{\frac {\partial \psi _{1}}{\partial t}}\end{pmatrix}}}$ / 

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Mostra que o espaço Hamiltoniano (a expressão entre parênteses ao quadrado) é uma matriz operador dois-por-dois, por conta das matrizes  de Pauli. 

Na mecânica estatística quântica, a entropia de von Neumann, nomeada em homenagem a John von Neumann, é a extensão dos conceitos clássicos de entropia de Gibbs ao campo da mecânica quântica.^[1] O formalismo matemático abrangente da mecânica quântica foi apresentado pela primeira vez no livro "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik" publicado em 1932 de Johann von Neumann.^[2] Para um sistema mecânico quântico descrito por uma matriz densidade ρ, a entropia de von Neumann és^[3][4]

${\displaystyle S=-\mathrm {tr} (\rho \ln \rho ),}$ / 

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

onde ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ denota o traço e ln denota o logaritmo (natural) da matriz. E se ρ é escrito em termos de seus autovetores ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots }$ como

${\displaystyle \rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|~,}$ / 

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

então a entropia de von Neumann é meramente^[3]

${\displaystyle S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.}$ / 

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Nesta forma, S pode ser visto como equivalente à entropia teórica de Shannon da informação.^[3]